- احتمالا اتریوم به زودی به این سطح کلیدی کاهش می یابد
- Defiance Quantum ETF (QTUM)
- Global Times: ایجاد جامعه ای با آینده مشترک برای راه بشر به صلح ، توسعه و سعادت
- متنوع سازی نمونه کارها: چیست و چرا مهم است؟
- کد خطا 12: معامله نامعتبر
- استراتژی های ساده
- هزینه متوسط هزینه سرمایه (WACC)
- قیمت سهم هند Vix
- 2023-2030 اندازه بازار تیغه برش عمیق با تولیدات و فرصت های آینده
- آموزش به عنوان معامله گر
آخرین مطالب
امکانات وب
در این مقاله ، یک رویکرد عددی برای تجزیه و تحلیل پایداری معادلات دیفرانسیل تأخیر خطی (SDDE) در فضای پارامتر بر اساس تکنیک تقریب زمان مداوم طیف چبیشو (CSCTA) تهیه شده است. از روش CSCTA برای تقریب SDDE خطی نامحدود به عنوان مجموعه ای از معادلات دیفرانسیل تصادفی خطی (SDE) استفاده می شود. ميانگين و ميانگين ميانگين ثبات مربع برای آناليز پايداري تصادفي از SDE حاصل استفاده مي شود. برای این منظور ، مجموعه ای از معادلات دیفرانسیل قطعی خطی برای هر دو لحظه اول و دوم با استفاده از قانون دیفرانسیل ITO بدست می آید. دو مثال ارائه شده است: SDDE مرتبه اول با تحریک تصادفی چند برابر و SDDE مرتبه دوم با تحریک تصادفی افزودنی و چند برابر. در هر دو مثال ، نمودارهای پایداری به دست آمده از رویکرد پیشنهادی ، با مواردی که با استفاده از روش نیمه تخریب تصادفی به دست آمده است ، مطابق با البیلی و همکاران.(Commun Nonlinear Sci Numer Simul 10 (1): 85-94 ، 2005). در مثال اول ، نتایج ثبات به دست آمده از هر دو روش عددی کمتر از منطقه پایداری مبتنی بر لیاپونوف به دست آمده توسط سامی و همکاران کمتر محافظه کارانه است.(Int J Dyn Control 1 (1): 64-80 ، 2013).
روی نسخه خطی کار می کنید؟
از رایج ترین اشتباهات خودداری کنید و نسخه خطی خود را برای ویراستاران ژورنال آماده کنید.
1. معرفی
پدیده های تصادفی می توانند در فرآیندهای مختلف فیزیکی و مهندسی [3] مانند فیزیک کیهانی [4] ، سیستم های ارتباطی [5] ، کنترل ترافیک [6] و غیره ایجاد شوند. آنها می توانند رفتار سیستم ها را تغییر داده و آنها را به سمت بی ثباتی سوق دهند. بنابراین ، بررسی پایداری معادلات دیفرانسیل تصادفی (SDE) و مدل سازی چنین سیستم هایی از اهمیت بالایی برخوردار است. در دهه های اخیر ، تکنیک های تجزیه و تحلیل پایداری SDE ها توسعه یافته است. برخی از پیشینه در مورد تئوری سیستم های تصادفی را می توان در [7-9] یافت.
سیستم های دینامیکی با تأخیر در زمان تصادفی به دلیل بی ثباتی و عملکرد ضعیف که باعث تأخیر زمانی می شود ، توجه فزاینده ای را به خود جلب کرده است ، و همچنین به دلیل رزونانس تصادفی احتمالی بین میزان فرار کرامرز از چاه بالقوه و تأخیر [10]. تعدادی از مطالعات انجام شده است که بر تجزیه و تحلیل پایداری SDDE در ادبیات متمرکز شده است [11-18]. پایداری تصادفی محلول تعادل SDDE ها را می توان از مفاهیم مختلف ثبات از جمله پایداری بدون علامت [11 ، 12] ، ثبات نمایی [13 ، 19] ، ثبات لحظه [14 ، 15] و پایداری لیپونوف [2 ، 16 ، 18] مورد مطالعه قرار داد.]. دو روش که برای اثبات ثبات در چارچوب روش مستقیم Lyapunov استفاده می شود شامل عملکرد Lyapuno v-Krasovskii و عملکرد Lyapuno v-Razumikhin است. نمونه هایی از تجزیه و تحلیل پایداری SDDE ها با استفاده از عملکرد Lyapuno v-Krasovskii را می توان در [2 ، 16] یافت ، در حالی که نمونه هایی از عملکرد Lyapuno v-Razumikhin در [2 ، 18] یافت می شود. طبقه ای از تکنیک های عددی که اغلب برای مطالعه پایداری سیستم های تاخیر زمان استفاده می شود ، روشهای مبتنی بر گسسته سازی هستند که در آن از یک بردار حالت گسترده برای تقریب وضعیت نامتناهی بعدی استفاده می شود. مشخص است که تکنیک های گسسته سازی ثبات بدون علامت را برای تأخیر در معادلات دیفرانسیل (DDE) حفظ می کنند [20 ، 21]. یک تکنیک شناخته شده از این نوع ، روش نیمه تخریب است که در ابتدا در مکانیک جامد و سیال مورد استفاده قرار می گرفت و برای تجزیه و تحلیل پایداری سیستم های تاخیر زمان قطعی در [22] اتخاذ شده است. روش نیمه تخریب برای تجزیه و تحلیل پایداری SDDE های خطی در [1] ، که در آن مرزهای پایداری و لحظات مرتبه دوم حالت پایدار با استفاده از این روش مورد بررسی قرار گرفته است. به جای استفاده از نقاط شبکه مساوی (که همیشه در نیمه تخریب سازی فرض می شود) ، با این حال ، جوهر روشهای تمایز شبه فن آوری در استفاده از نقاط گسسته سازی ناهموار با نقاط بیشتر در نزدیکی مرزها قرار دارد. همانطور که در [23] نشان داده شده و مورد بحث قرار گرفته است ، تمایز شبه فن آوری دارای یک مزیت عمده نسبت به تکنیک های تقریبی است که از نقاط شبکه به همان اندازه فاصله در خصوصیات همگرایی نمایی طیفی خود استفاده می کنند. روش CSCTA قبلاً در مطالعات متعدد برای تجزیه و تحلیل پایداری [24 ، 25] و همچنین شناسایی سیستم در سیستم های تأخیر زمانی قطعی استفاده شده است [26-28]. علاوه بر این ، در [29 ، 30] ،
خصوصیات همگرایی تحلیلی روش شبه فن آوری Chebyshev برای بررسی پایداری تعادل و راه حل های دوره ای DDEs انجام شده است.
در این مقاله ، ما از تکنیک عددی CSCTA برای تقریب یک کلاس کلی از SDDE های خطی به عنوان مجموعه ای از SDE های خطی استفاده می کنیم. مفاهیم پایداری میانگین و میانگین مربع برای تجزیه و تحلیل پایداری SDE های خطی حاصل ، که در آن مجموعه ای از معادلات دیفرانسیل تعیین کننده خطی برای هر لحظه با استفاده از قانون دیفرانسیل ITO به دست می آید ، استفاده می شود. سرانجام ، مرزهای پایداری مربوط به لحظات اول و دوم در فضای پارامتر با استفاده از معیارهای ویژه مقادیر محاسبه می شود. این مقاله به شرح زیر سازماندهی شده است: در بخش. 2 ، SDDE های خطی و مفهوم ثبات لحظه معرفی شده است. در فرقه3 ، نشان داده شده است که چگونه می توان یک SDDE-Dinearite-Dimensional SDDE را به عنوان مجموعه ای از SDE های خطی خطی با استفاده از تکنیک CSCTA تقریب داد. تجزیه و تحلیل پایداری عددی SDDEs با استفاده از CSCTA به همراه تئوری ثبات لحظه در بخش مورد بحث قرار گرفته است. 4- سرانجام در فرقه. 5 ، رویکرد عددی پیشنهادی در سیستم های SDDE مرتبه اول و دوم اعمال می شود. مرزهای پایداری حاصل در فضای پارامتر با موارد به دست آمده با استفاده از یک رویکرد مبتنی بر لیاپونوف که در [2] نشان داده شده است و همچنین با استفاده از روش نیمه تخریب تصادفی تصادفی که در [1] ارائه شده است ، مقایسه می شوند.
2 SDDES خطی و ثبات لحظه ای
$$x08egin
where (x(t)in mathcal R^n) , (zeta (t) in mathcal R^q) is the stochastic disturbance, ( au ) is the known discrete time delay, (x_t( heta )=x(t+ heta )in mathcal ([t_0- au ,t_0],mathcal R^n)) for ( t_0- au le heta le t_0) is the infinite-dimensional state residing in a Banach space of continuous functions on the interval of length ( au ) , (phi ( heta )) is the history function on the interval ([t_0- au ,t_0]) , (A in mathcal R^) and (A_1in mathcal R^) are constant coefficient matrices, (G_0in mathcal R^) is the additive random excitation coefficient, and (G_1 in mathcal R^) is a third-order tensor which represents the multiplicative random excitation coefficient, i.e., (left( G_1x(t)zeta (t) ight) _i=sum _^sum _^ G_>t ge t_0 ، nonumber \ & x ( theta) = phi ( theta) ،
x_l (t) zeta _k (t) ) ، جایی که (i = 1،2 ، ldots ، n ).
$$x08egin
( zeta (t) ) را می توان با یک فرآیند سر و صدای سفید گاوسی به میانگین صفر که به عنوان یک بردار فرآیندهای تصادفی مستقل از حالت با ماتریس کواریانس (q (t) ) تعریف شده است ، تقریب داد.(t) sim n (0 ، q (t)) ). یک فرآیند تصادفی نویز سفید به طور رسمی به عنوان مشتق یک حرکت براون (وینر) فرآیند TextColorred ( Beta (t) ) تعریف می شود ، یعنی ،
) نمایانگر اپراتور انتظار است. توجه داشته باشید که ( beta (t) ) در فضای احتمال کامل تعریف شده است (( varomega ، mathrm f ، mathbb p) ) ، جایی که ( varomega ) فضای نمونه است ، ( mathrmf ) ( sigma ) -algebra از زیر مجموعه های فضای نمونه است ، و ( mathbb p ) اندازه گیری احتمال در ( mathrm f ) است.
$$x08egin با استفاده از تعریف حرکت براون ، فرم فیزیکی در Eq.(1) با ( zeta (t) ) با (w (t) ) تقریب می یابد. بر خلاف اولین انتگرال که یک انتگرال Riemann است ، انتگرال دوم حاوی یک انتگرال تصادفی است که ممکن است به معنای ITO یا Stratonovich تفسیر شود. با این حال ، زیرا Eq.(1) یک شکل فیزیکی را نشان می دهد ، تفسیر Stratonovich مورد نیاز است (برای بحث بیشتر در مورد تفسیرهای ITO و Stratonovich از یک انتگرال تصادفی ، به [8 ، 9] مراجعه کنید). $$x08egin t ge t_0 ، nonumber \ x ( theta) & = phi ( theta) ،<partial G_ ) اصطلاح تصحیح Won g-zakai است که در نمای ITO از SDE ها ظاهر می شود. (T_0 ) فرض می شود که در معادله فوق و از این پس صفر است. شایان ذکر است که تحول فوق از Stratonovich به ITO را می توان در [8 ، 9] یافت و به طور رسمی در [31] اثبات شده است. $$x08egin توجه داشته باشید که (x (t) = 0 ) یک راه حل تعادل برای Eq نیست.(4) از آنجا که هر دو ماتریس ثابت (C ) و اصطلاح نویز افزودنی (G_0D Beta (t) ) در Eq وجود دارد.(4). با این حال ، ما در عوض ثبات یک راه حل اسمی ( bar (t) ) را برای Eq بررسی می کنیم.(4) رضایت بخش $$x08egin ما به تجزیه و تحلیل پایداری این راه حل اسمی علاقه مند هستیم. توجه داشته باشید که ( bar (t) = 0 ) می تواند به عنوان یک نقطه تعادل برای Eq در نظر گرفته شود.(4) اگر (c = 0 ) و (g_0 = 0 ) (بدون سر و صدای افزودنی). بگذارید (x (t) ) هر راه حل آشفته ای از Eq باشد.(4). برای از بین بردن ثابت ها (c ) و (g_ ) ، اختلال (y (t) ) را به عنوان (y (t) = x (t)- bar (t) ) تعریف می کنیم. بنابراین تمایز آشفتگی با استفاده از معادلات.(4) و (5) بازده که برای آن محلول بی اهمیت (y (t) = 0 ) یک نقطه تعادل است. اکنون ، ما ثبات راه حل بی اهمیت Eq را تجزیه و تحلیل می کنیم.(6) که به معنای ثبات ( bar (t) ) است. علاوه بر این ، برای هر ( phi ( theta) in mathcal c ([ - tau ، 0] ، mathcal r^n) ، - tau le theta le 0 ) ، مقدار اولیه مقدار اولیهمشکل Eq.(6) (با تبدیل بالا به (y (t) ) محلول (y (t ؛ phi) ) را در صورت رضایت ، با احتمال 1 ، معادله انتگرال زیر دارد: جایی که در این معادله انتگرال تصادفی به معنای ITO درک می شود. این راه حل در فاصله زمانی از ([0 ، t] ) منحصر به فرد است ، یعنی زمان فرار محدود صفر است ، زیرا ماتریس ضریب ثابت (a_0 ، a_1 ، g_1 ) فرض می شود که هنجار محدود است. توجه داشته باشید که از Eq.(4) یک SDDE خطی و متغیر است که بیش از ([0 ، t] ) و ماتریس های ضریب منحصر به فرد بودن محلول Eq را محدود می کنند.(4) بی اهمیت است. وجود و منحصر به فرد بودن محلول SDDE در [15 ، 32 ، 33] ظاهر می شود. چندین حالت مختلف ثبات تصادفی را می توان تعریف کرد. پایداری لیاپونف ، ثبات در احتمال ، پایداری تقریباً مطمئن و ثبات در لحظه در لحظه تعاریف مختلفی از ثبات تصادفی است. در این مقاله ، ما به تجزیه و تحلیل پایداری لحظه ای از SDD های خطی و به طور خاص تجزیه و تحلیل پایداری لحظات اول و دوم علاقه مند هستیم. تجزیه و تحلیل پایداری لحظه دوم حاکی از ثبات در احتمال و برای سیستم های تصادفی خطی است ، همانطور که در این مقاله وجود دارد ، این امر به معنای ثبات تقریباً مطمئن است. جزئیات بیشتر در مورد حالت های ثبات تصادفی و روابط آنها را می توان در [8 ، 34] یافت. The trivial solution (y=0) of Eq. (6) is said to be stable in the m th moment if for every (t_0 ge 0) and (epsilon>0) , there exists a (delta (t_0,epsilon )>تعریف 1 راست | راست |~جایی که (y (t ؛ phi)^m = y_1^y_2^. y_n^،~S = [S_1 ، S_2. s_n]^t ،<> sum _^ s_i = m ) ، و ( چپ | (.) راست | = سمت چپ ( sum _^^ (.) ^2 راست) ^ frac ). راه حل اسمی Eq.(5) گفته می شود که اگر Eq.(8) نگه می دارد و 3 تقریب زمان پیوسته طیفی چبیشف $$x08egin fancyscript(t)<mathbb A>ight) dt+left( ilde<mathbb G>که در آن (fancyscript(t)) بردار بی بعدی است، ( ilde<mathbb A>: mathcal C <mathbb G>ightarrow mathcal C) مولد نیمه گروه (mathcal C_0) در غیاب برانگیختگی تصادفی و ( ilde است. ) یک عملگر ضریب تحریک تصادفی بی بعدی است. ایده اصلی پشت تکنیک تقریب زمان پیوسته (CTA) این است که بردار بی بعدی (fancyscript(t)) و عملگرهای ( ilde $$x08egin ) و ( ilde<(i-1)pi>) را می توان با بردارها و ماتریس های محدود بعدی تقریب زد. اطلاعات بیشتر در مورد رابطه بین دامنه و طیف عملگر راه حل را می توان در [36-38] یافت. بحث های بیشتر در مورد رویکرد نیمه گروهی به DDE و SDDE در فضای Banach نیز در [39-42] ارائه شده است. این نشان دهنده یک بسط مستقیم از شکل انتزاعی یک DDE قطعی است، به عنوان مثال.[24، 31، 38] را ببینید. همانطور که در [23] نشان داده شد و مورد بحث قرار گرفت، تمایز طیفی مزیت عمده ای نسبت به تمایز تفاضل محدود در ویژگی های همگرایی نمایی دقیق طیفی آن دارد. یک تقریب بعد محدود به (fancyscript(t)) اکنون به صورت تعریف شده است $$x08egin اکنون ما یک ماتریس تمایز طیفی Chebyshev (d ) (m times m ) را تعریف می کنیم. با فرض ردیف ها و ستون های ماتریس (d ) از (0 ) تا (n ) فهرست بندی می شوند.<mathbb A>j = 1 ، ldots ، n-1 nonumber \ & d_ = c_i (-1)^/c_j (t_i-t_j) ،<mathbb G>من ne j ،<mathbb G>که در آن (c_i = 2 ) برای (i = 0 ، n ) ، در غیر این صورت (c_i = 1 ). عملگر دیفرانسیل (mn time mn ) ( mathbb d ) (مربوط به (n ) sddes مرتبه اول) به عنوان ( mathbb d = d otimes i_n ) تعریف شده است که در آن (i_nn) یک ماتریس هویت (n times n ) است و ( otimes ) محصول Kronecker را نشان می دهد. Eq(10) با جایگزینی ابتدا ردیف های (n ) از ( mathbb d ) توسط (a_0 ) و (a_1 ) قابل تفکیک و تقریب می شوند تا یک ماتریس محدود ( mathbb a ( mathbb a ) تشکیل دهند.) که اپراتور را تقریبی می کند ( tilde )همچنین، (<mathbb A>) با درج (G_1 ) در ردیف های بالای (n ) ماتریس ضریب (d beta (t) ) با ردیف های باقیمانده برابر با صفر برای تقریب ماتریس ضریب ( () تشکیل می شود. تیلد توجه داشته باشید که supercript ((n+1: mn ، :) ) on ( mathbb d ) به این واقعیت اشاره دارد که فقط ردیف های ( mathbb d ) که بین (n+1 ) قرار دارد و (mn ) در عناصر باقیمانده (n (m-1) بار mn ) نوشته شده است ( tilde )فاکتور ( frac ) در مقابل ( Mathbb d ) در Eq.. بنابراین ، SDDE خطی نامتناهی Eq.(4) می توان با استفاده از تکنیک CSCTA ، که در آن ابعاد Eq است ، به یک سیستم بزرگ از SDE های خطی با ابعاد محدود تبدیل شود.(14) به ترتیب شبکه چبیسف مورد استفاده بستگی دارد. همانطور که برآورد محدوده خطا برای ریشه های چند جمله ای و مشخصه COLLACTION از DDE های با ضریب ثابت با استفاده از نقاط جمع آوری Chebyshev مورد مطالعه در [29] نشان می دهد که دقت با درجه n چند جمله ای جمع می شود. بنابراین ، یک شبکه بزرگتر منجر به دقت بهتر تقریب SDE از SDDE اصلی می شود. 4 تجزیه و تحلیل پایداری از تقریب CSCTA SDE هدف از این بخش ، ایجاد چارچوبی برای تجزیه و تحلیل پایداری Eq است.(14) برای مفهوم ثبات لحظه ای ارائه شده در تعریف 1. (mn ) خطی خطی ITO SDE از Eq.(14) با شرط اولیه (y (t_0) = y_0 ) را می توان بازنویسی کرد ثبات لحظه ای Eq.(15) اگر لحظه های تمام سفارشات پایدار باشد ، می توان نتیجه گرفت. با این حال ، در تعیین ثبات همه لحظات ابهام وجود دارد زیرا تعداد نامحدودی از لحظات وجود دارد. به عنوان مثال ، برای مقادیر مشخصی از پارامترهای سیستم ، یک سیستم می تواند برای اولین لحظه های P پایدار باشد ، جایی که (P GE 0 ) نشان دهنده ثبات لحظه p است ، در حالی که لحظه های مرتبه بالاتر ، هنوز هم می تواند ناپایدار باشد (برای مثال دقیق تر به [8] مراجعه کنید). بنابراین ، ما فقط توجه خود را به مطالعه پایداری میانگین و میانگین مربع SDDE ها معطوف خواهیم کرد. توجیه دیگر این است که شرایط پایداری متوسط مربع حاکی از شرایط پایداری تقریباً مطمئن برای مورد خاص SDDE های خطی مانند Eq است.(15) [8 ، 34 ، 35]. بنابراین ، می توان نتیجه گرفت که ثبات میانگین مربع می تواند یک اندازه گیری قابل قبول برای تجزیه و تحلیل پایداری Eq ارائه دهد.(15)از طرف دیگر ، Eq.(15) فرض می شود که با فرآیند افزایش حرکت براون ، با خواص مورد بحث در فرقه ، از فرآیند افزایش حرکت براون (d beta (t) ) هیجان زده می شود. 2. بنابراین ، معادلات لحظه ای ، که در این بخش به دست می آیند ، قطعی هستند که باعث می شود تجزیه و تحلیل پایداری از Eq باشد.(16) قابل ردیابی بیشتر.تعریف زیر مفهوم ثبات لحظه ای برای Eq را توصیف می کند.(6) [8 ، 35].
اگر تابع (delta ) مستقل از (t_0) باشد، یعنی (delta (epsilon)) این دو مفهوم را می توان به پایداری یکنواخت و پایداری مجانبی یکنواخت در لحظه m تغییر داد. شایان ذکر است که تعریف فوق از پایداری ممان بیانگر ممان مشترک مرتبه (m) برای عناصر بردار (y) است، یعنی ممان مشترک مرتبه (m) برای (n).) متغیرهای تصادفی (y_1, y_2,ldots, y_n). علاوه بر این، پس از تغییر متغیر، تعریف 1 همچنان پابرجاست و پایداری راه حل بی اهمیت تحت تاثیر قرار نمی گیرد. پایداری لحظه های اول و دوم به پایداری میانگین و میانگین مربع معروف است.
) از (d beta (t) ) ، یعنی ،
تجارت با گزینههای باینری...
ما را در سایت تجارت با گزینههای باینری دنبال می کنید
برچسب :
نویسنده : حمیدرضا پگاه
بازدید : 26
