جلد: معنی و فرمول را با تصاویر و سوالات بیاموزید

Mensuration دامنه ریاضیات و هندسه است که در مورد طول ، حجم و مساحت اشیاء مختلف هندسی بحث می کند. برای انسجام 2D ، مساحت و محیط مشخص شده و برای هندسه سه بعدی ، مساحت جانبی ، سطح کل و حجم را بدست می آوریم.

در این مقاله ، شما می آموزید که چه حجمی است و فرمول برای تعیین حجم اشیاء مختلف مانند کره ، سیلندرها ، مخروط ها ، کوبیدها ، نیمکره ها و غیره با سؤالات حل شده برای تمرین. هر شیء در طول سه بعدی فضای خاصی را اشغال می کند و این فضا از نظر حجم آن اندازه گیری می شود. سؤالات مربوط به منطقه ، حجم و محیط پیرامون بیشتر در امتحانات رقابتی و همچنین امتحانات دولتی مانند SSC JE ، SSC CGL ، UPSC ، SBI PO و غیره پرسیده می شود.

جلد

حجم در ریاضیات به عنوان فضای اشغال شده در مرزهای یک نهاد در فضای سه بعدی تعریف شده است. به عبارت دیگر ، این ظرفیت جسم در فضای سه بعدی است. به عنوان مثال ، اگر یک شیشه 700 میلی لیتر شیر داشته باشد ، گفته می شود که حجم آن 700 میلی لیتر است. همچنین مقدار آب مورد نیاز برای پر کردن بطری آب یا مخزن آب حجم آن است.

بنابراین پیدا کردن حجم یک شیء بیشتر به ما کمک می کند تا مقدار مورد نیاز برای پر کردن آن شیء خاص را مشخص کنیم ، مانند مقدار آب مورد نیاز برای پر کردن یک بطری ، یک شیشه ، یک سطل ، یک آکواریوم یا مخزن آب.

واحدهای حجم

حجم هر جامد داده شده در واحدهای مکعب محاسبه می شود. به عنوان مثال ، اگر اندازه گیری اشیاء در متر داده شود ، واحد حجم مکعب خواهد بود. متر مکعب یعنی ( متن^3 ) واحد S. I. حجم است.

با این حال ، سایر واحدهای حجم لیتر ، میلی لیتر و گالن هستند. علاوه بر این واحدها مانند اینچ مکعب ( ( text^3 )) ، فوت مکعب ( ( text^3 )) ، سانتیمتر مکعب ( ( text^3 )) و حیاط مکعب (( متن^3 )) همچنین برای اندازه گیری حجم اشیاء استفاده می شود.

حجم شکل های سه بعدی

هر شیء ماهیت اشغال فضای دارد. اکنون که می دانیم حجم آن و واحد آن چیست ، اجازه دهید فرمول حجم را برای شکل های مختلف هندسی شناخته شده در فضای سه بعدی درک کنیم.

حجم یک مکعب

مکعب یک شکل سه بعدی است که دارای شش چهره است به گونه ای که هر یک از چهره ها با چهار چهره دیگر به هم وصل می شوند. تمام دو طرف یک مکعب از طول مساوی است. یک مکعب را می توان با جمع کردن تعداد مشخصی از مربع های بالاتر از دیگری ساخته شد. شکل زیر شبیه به همان است.

اگر اندازه گیری طرفین یک مکعب را در نظر بگیریم = a

سپس حجم یک مکعب = (a^)

مکعب های روبیک ، تاس ، مکعب های قند و غیره نمونه های واقعی زندگی از شکل مکعب هستند.

حجم یک مکعب

یک مکعب نمایش سه بعدی مستطیل محسوب می شود. طرفین از طول های مختلف برخوردار هستند و به طول ، وسعت و ارتفاع نامگذاری شده اند. یک مکعب را می توان با جمع آوری تعداد مشخصی از مستطیل های طول ، وسعت و ارتفاع یک بالاتر از دیگری ساخته شد. شکل زیر همان را نشان می دهد.

اگر H نشان دهنده ارتفاع باشد ، طول آن را نشان می دهد و B وسعت مکعب را نشان می دهد ، سپس حجم مکعب = L × B × H.

معمولاً اشکال مکعب کتاب ، آجر ، تشک ، جعبه کفش و غیره است.

حجم مخروط

مخروط یک شکل سه بعدی است که تنها یک نقطه راس و یک پایه دایره ای دارد. تصویر زیر همان را نشان می دهد.

اگر H را مشخص کند ، L ارتفاع شیب را مشخص می کند و r شعاع مخروط است ، حجم یک مخروط با استفاده از فرمول ( سمت چپ ( frac راست) pi r^h ) محاسبه می شود.

برخی از نمونه های واقعی یک مخروط عبارتند از:قیف ، مخروط بستنی ، کلاه های مهمانی ، درخت کریسمس و غیره

حجم فرستوم مخروط

فرستوم مخروط یک بخش یا بخشی از مخروط بدون راس آن است. این زمانی است که مخروط داده شده به دو قطعه با هواپیما که موازی با پایه مخروط است تقسیم می شود. شکل زیر همان را نشان می دهد.

فرمول حجم فرستوم مخروط = ( frac<pi h> سمت چپ [ frac<left(R^-r^ ight)>درست])

حجم frustum مخروط = ( frac<pi h>(r^2+rr+r^) )

در مورد مفهوم مختلف هندسه در اینجا بیاموزید.

حجم یک سیلندر

یک سیلندر شکل سه بعدی دیگری با پایه های دایره ای و ارتفاع خاصی است که دو پایه را جدا می کند. طول بین این دو پایه ارتفاع سیلندر نامیده می شود. می توان آن را به عنوان یک ساختار لوله مانند در نظر گرفت که دارای دو پایه دایره ای موازی توسط یک سطح خمیده در طول مشخص از مرکز است.

اگر r شعاع پایه های دایره ای را نشان دهد و H نشان دهنده ارتفاع سیلندر باشد ، سپس حجم فرمول استوانه = ( pi r^ h )

شبیه به روشی که دیدیم ؛مکعب ها را می توان با استفاده از مربع ها ساخت و می توان با استفاده از مستطیل ها ساخته شد ، یک سیلندر را می توان با استفاده از تعداد مشخصی از دایره ها به همان اندازه بالاتر از دیگری ایجاد کرد. بطری های آب ، مداد ، قلم ، سطل ، شمع ، قوطی و غیره نمونه های واقعی در زندگی استوانه هستند.

همچنین در مورد منطقه یک دایره در اینجا بخوانید.

حجم سیلندر توخالی

یک استوانه که از داخل توخالی یا خالی است و مقداری از ضخامت در محیطی دارد ، سیلندر توخالی نامیده می شود. برای چنین سیلندر بین شعاع داخلی و خارجی تضاد وجود دارد. نمودار زیر را در نظر بگیرید تا همین موضوع را درک کنید.

در اینجا اگر "R" ، شعاع داخلی پایه را نشان دهید و "R" شعاع بیرونی پایه را به همراه "H" نشان می دهد ، ارتفاع سیلندر دایره ای توخالی را نشان می دهد و سپس حجم استوانه توخالی = ( pi h سمت چپ (r^-r^ راست) )

لوله ها ، کانال ها ، ساختمانهای دایره ای ، نی و غیره برخی از نمونه های زندگی واقعی از یک استوانه توخالی هستند.

درباره انواع مختلف چهار ضلعی بیشتر بدانید.

حجم یک کره

کره یک شکل سه بعدی دیگر است که معمولاً در ریاضیات استفاده می شود. شکل زیر شبیه به همان است. اگر r شعاع را نشان دهد ، حجم یک کره یا حجم یک کره جامد توسط فرمول داده می شود ؛ ( سمت چپ ( frac راست) pi r^)

بسکتبال ، فوتبال ، توپ تنیس ، پرتقال ، کره و غیره نمونه های واقعی در حوزه هستند.

حجم کره توخالی

یک کره توخالی کره ای است که از داخل توخالی است به گونه ای که دیواره ای با ضخامت مساوی در فضای داخلی توپ ایجاد می شود. در یک کره توخالی ، دو شعاع یکی برای کره بیرونی و دیگری برای حوزه درونی وجود دارد.

اگر r شعاع کره بیرونی باشد و r شعاع کره داخلی است ، حجم کره توخالی = حجم کره بیرونی - حجم حوزه داخلی

همچنین ، در مورد دور یک دایره با این مقاله بیاموزید.

حجم نیمکره

هنگامی که ما یک کره را با هواپیما که دقیقاً از مرکز عبور می کند ، برش می دهیم ، پس شکل به دست آمده نیمکره نامگذاری می شود. این است که می توانیم بگوییم که یک نیمکره یک شکل سه بعدی است که دقیقاً نیمی از یک کره است. اگر r شعاع نیمکره را نشان دهد ، حجم فرمول نیمکره ( سمت چپ ( frac راست) pi r^) است.

برخی از نمونه های واقعی در شکل های نیمکره عبارتند از igloo ، کاسه ، قارچ ، فنجان چای ، کلاه ، بستنی بستنی و غیره.

حجم هرم

یک هرم یک شکل 3 بعدی است که با قسمت زیرین چند ضلعی و مثلثی ساخته شده است که همه به هم وصل شده اند. بسته به پایه ، انواع مختلفی از اهرام مانند هرم مربع ، هرم مثلثی ، هرم مستطیل ، هرم پنج ضلعی ، هرم شش ضلعی و غیره وجود دارد.

این بیشتر بدان معنی است که اگر پایه هرم مستطیل باشد ، هرم مربوطه به هرم مستطیل نامیده می شود. شکل زیر همان را نشان می دهد.

حجم هرم توسط فرمول داده می شود. ( frac times b time h )

در اینجا ، B نشانگر مساحت پایه (هرم مربع ، هرم مثلثی ، هرم مستطیل ، هرم پنج ضلعی ، هرم شش ضلعی و غیره) و H است.

حجم منشور

منشور یک شکل سه بعدی است به گونه ای که پایه ها از نظر شکل یکسان هستند و با یکدیگر روبرو هستند ، یعنی پایه ها به موازات یکدیگر هستند. پایه های منشور می توانند یک مثلث ، مستطیل ، مربع یا هر نوع چند ضلعی باشند ، با این حال ، چهره های دیگر منشور موازی یا مستطیل هستند. تصویر زیر برخی از انواع منشور را نشان می دهد.

حجم منشور = سطح پایه × ارتفاع

منشور به عنوان اشیاء چند قطبی در نظر گرفته می شوند ، یعنی این اشیاء دارای چندین چهره مسطح هستند. در این بیانیه بیشتر آمده است که منشور نمی تواند هیچ طرفی داشته باشد که به عنوان مثال خمیده باشد مانند یک مخروط ، سیلندر یا کره منشور نیستند.

در مورد Mensuration 3D در اینجا اطلاعات بیشتری کسب کنید.

لیست فرمولهای حجم

در جدول زیر لیست مفصلی از فرمول های حجم برای همه شکل های 3 بعدی ممکن برای تجدید نظر سریع به شما ارائه می شود.

حجم ترکیب اشکال

در هدرهای قبلی ، ما مفهوم و فرمول حجم را برای اشکال مختلف 3 بعدی دیدیم. بگذارید اکنون حجم ترکیب اشکال را بیاموزیم. هنگامی که دو شکل جامد متفاوت ادغام می شوند تا شکل دیگری را شکل دهند ، این منجر به سطح متنوعی از اندازه گیری می شود. ما سه شکل ترکیبی از این دست را یاد خواهیم گرفت. کپسول ، مخروط بستنی و چادرها.

حجم کپسول

یک کپسول از کره ای تشکیل شده است که از طریق مرکز به دو نیمی بریده شده است و دو انتهای آن مطابق شکل زیر توسط یک سیلندر از هم جدا می شوند.

همچنین می توان آن را به عنوان دو نیمکره که از طریق یک سیلندر پیوستند ، درک کرد.

حجم یک کپسول برابر با افزودن حجم کره با شعاع R (یا حجم دو نیمکره) + حجم قسمت استوانه ای است.

(v = چپ ( frac راست) pi r^3+ pi r^2h = pi r^2 Left ( frac+h راست) )

حجم مخروط بستنی

مخروط بستنی ترکیبی از دو شکل سه بعدی است که یک مخروط و نیمکره است. از این رو ، حجم بستنی = حجم نیمکره + حجم مخروط.

حجم چادر سیرک

چادر سیرک ترکیبی از دو شکل سه بعدی است که یک سیلندر و مخروط است. این ترتیب به گونه ای است که یک مخروط در بالای سیلندر قرار می گیرد. یک کلبه همچنین دارای یک ساختار چادر مانند است.

حجم چادر سیرک برابر است با اضافه شدن حجم مخروط + حجم قسمت استوانه ای.

نمونه های حل شده در حجم

موضوعات مربوط به قاعدگی مانند اشکال دوبعدی و سه بعدی را می توان با تمرین تا حد امکان بیشتر درک کرد. به عنوان چنین موضوعی بیشتر فرمول ها را شامل می شود. بنابراین دانستن همه این فرمول ها به ما اجازه می دهد تا برخی از سوالات حل شده را بررسی کنیم.

حل شده مثال 1: حجم توپی را که شعاع آن 7 سانتی متر است (مقدار (pi=frac) را در نظر بگیرید) تخمین بزنید؟

راه حل: با توجه به شعاع توپ های فوتبال = 7 سانتی متر.

از آنجایی که فوتبال شبیه به شکل یک کره جامد است، با استفاده از فرمول مشابه.

جایگزینی مقادیری که به دست می آوریم؛

در ساده سازی بیشتر دریافت می کنیم؛

حجم یک فوتبال = 1437. 33 ( ext^3)

حل شده مثال 2: یک مخزن آب استوانه ای دارای شعاع پایه 14 سانتی متر و ارتفاع 20 سانتی متر است. حجم آبی که مخزن می تواند در خود نگه دارد را تعیین کنید (مقدار (pi=frac) را بگیرید).

راه حل: با توجه به شعاع و ارتفاع مخزن استوانه ای آب به ترتیب 14 سانتی متر و 20 سانتی متر است.

حجم فرمول سیلندر=( pi r^ h)

حل شده مثال 3: یک درخت کریسمس مخروطی شکل باید با استفاده از مواد آلی ساخته شود. اگر ارتفاع درخت کریسمس 15 اینچ و قطر پایه آن 8 اینچ باشد. مقدار مواد آلی مورد استفاده برای ساخت درخت را محاسبه کنید (مقدار (pi=frac) را بگیرید).

راه حل: ابعاد درخت کریسمس عبارتند از؛

پایه = 8 اینچ، شعاع = 4 اینچ.

حجم یک مخروط=( چپ(fracراست)pi r^h)

(V=left(frac

ight)pi r^2h=frac imesfrac imes4 imes4 imes15 ext^3)

در ساده سازی می گیریم؛

حل شده مثال 4: یک سازه با استفاده از یک بلوک مکعبی به طول هر کدام 3 سانتی متر ساخته می شود. اگر سازه از 21 بلوک ساخته شده باشد، حجم اشغال شده توسط سازه را محاسبه کنید.

راه حل: با توجه به اندازه ضلع بلوک مکعبی = 3 سانتی متر

ابتدا حجم یک مکعب را محاسبه می کند.

حجم یک مکعب=(a^)

در اینجا a طول لبه مکعب داده شده است.

با جایگزینی مقداری که بدست می آوریم، حجم یک مکعب=

( V=3^3 ext^3=3 imes3 imes3 ext^3)21 بلوک از این قبیل برای ساختن ساختار مورد نیاز است. بنابراین، حجم اشغال شده توسط ساختار کامل = ( 21 imes27 ext^3=567 ext

^3)

حل شده مثال 5: گزینه های مناسب برای اشکال سه بعدی داده شده را انتخاب کنید.

(1) مساحت پایه × ارتفاع

راه حل: با در نظر گرفتن اشکال و گزینه ها تطابق صحیح به شرح زیر است:

گزینه (الف) با گزینه (3) به عنوان حجم نیمکره =( left(frac

ight)pi r^) همراه می شود.

گزینه (ب) با گزینه (1) به عنوان حجم منشور = سطح پایه × ارتفاع می رود

گزینه (ب) با گزینه (1) به عنوان حجم مخروط = ( سمت چپ ( frac راست) pi r^h ) می رود

گزینه (د) با گزینه (4) به عنوان حجم کره = ( سمت چپ ( frac راست) pi r^) می رود.

مثال 6 حل شده: برای بیانیه ها با پاسخ های مناسب ، جای خالی را پر کنید.

.

(2) پا مکعب ، اونس مایع ، اینچ مکعب ، پین ها و گالن ها ____ واحد برای اندازه گیری حجم هستند.

راه حل: اجازه دهید پاسخ به بیانیه ها را یک به یک شروع کنیم.

(1) متر مکعب ( (m^)) ، سانتی متر مکعب ( (cm^)) ، لیتر واحدهای متریک برای اندازه گیری حجم هستند.

(2) پا مکعب ، اونس مایع ، اینچ مکعب ، پین ها و گالن ها واحدهای استاندارد ایالات متحده برای اندازه گیری حجم هستند.

(3) 1 (cm^) 1 میلی لیتر

همچنین ، 1 L = 1000 میلی لیتر

در مقایسه با دوی که می گیریم ؛1000 (cm^) = 1000 میلی لیتر

ریاضیات گسسته

داده های طبقه بندی

سؤالات متداول

Ans. 1 جلد به زبان ساده می تواند به عنوان فضای اشغال شده در مرزهای یک نهاد یا شیء در فضای سه بعدی درک شود.

Ans. 2 فرمول محاسبه حجم یک جامد داده شده در یک فضای سه بعدی ، به دست آوردن محصول ابعاد آن است.

Ans. 3 متر مکعب ( (M^)) ، سانتی متر مکعب ( (cm^)) ، لیتر برخی از واحدهای متریک مشترک هستند که برای اندازه گیری حجم استفاده می شوند.