برخی از هویت ها برای شماره های فیبوناچی عمومی و لوکاس

نمایش فرمول :؟فرمول های ریاضی به عنوان MATHML رمزگذاری شده اند و در این نسخه HTML با استفاده از MathJax به منظور بهبود نمایشگر خود نمایش داده می شوند. جعبه را برای خاموش کردن MathJax از آن جدا کنید. این ویژگی به JavaScript نیاز دارد. برای بزرگنمایی روی فرمول کلیک کنید.

در این مقاله ما یک پارامتر تعمیم اعداد فیبوناچی ، شماره های لوکاس که اعداد ژاکوبشتال ، اعداد ژاکوبستا ل-لوکا را به طور همزمان بررسی می کند ، بررسی می کنیم. ما برخی از خصوصیات و تفسیرهای آنها را نیز در نمودارها ارائه می دهیم. نتایج ارائه شده نتایج شناخته شده برای اعداد فیبوناچی ، شماره های لوکاس ، شماره های ژاکوبستال و شماره های ژاکوبستال-لوکاس.

1 مقدمه و نتایج اولیه

اعداد فیبوناچی f n توسط رابطه عود f n = f n - 1 + f n - 2 ، برای n ≥ 2 با f 0 = 0 ، f 1 = 1 تعریف می شود.

شماره lucas n th l n به صورت بازگشتی توسط l n = l n - 1 + l n - 2 برای n ≥ 2 با اصطلاحات اولیه l 0 = 2 ، l 1 = 1 تعریف می شود.

جدا از شماره های فیبوناچی و شماره های لوکاس ، تعداد شناخته شده شماره های ژاکوبشتال و شماره های ژاکوبستال-لوکاس هستند.

برای یک عدد صحیح n ≥ 0 عدد ژاكوبستال j n به صورت بازگشتی توسط j n = j n - 1 + 2 j n - 2 ، برای n ≥ 2 با j 0 = 0 ، j 1 = 1 تعریف می شود. شماره J Jacobstha l-lucas J n توسط J n = J n - 1 + 2 J n - 2 ، برای n ≥ 2 با j 0 = 2 ، j 1 = 1 تعریف شده است.

بگذارید یک پارامتر عمومی سازی اعداد فیبوناچی را در نظر بگیریم.

بگذارید n ≥ 0 ، t ≥ 1 عدد صحیح باشد. شماره فیبوناچی تعمیم یافته j t ، n به صورت بازگشتی به شرح زیر تعریف می شود (1) j t ، n = j t ، n - 1 + t ⋅ j t ، n - 2 ، (1) برای n ≥ 2 با شرایط اولیه jt ، 0 = 0 و j t ، 1 = 1.

جالب است بدانید که J T ، N شماره های فیبوناچی و اعداد Jacobsthal را تعمیم می دهد. اگر t = 1 سپس j 1 ، n = f n و برای t = 2 j 2 ، n = j n را نگه می دارد. به همین دلایل اعداد j t ، n نیز به عنوان اعداد عمومی ژاکوبستال نامگذاری شده اند.

به همین ترتیب می توانیم شماره های عمومی لوکاس را که تعمیم اعداد لوکاس و شماره های ژاکوبستا ل-لوکاس است ، تعریف کنیم.

بگذارید n ≥ 0 ، t ≥ 1 عدد صحیح باشد. شماره لوکاس تعمیم یافته j t ، n به صورت بازگشتی به شرح زیر تعریف می شود (2) j t ، n = j t ، n - 1 + t ⋅ j t ، n - 2 ، (2) برای n ≥ 2 با شرایط اولیه j t ، 0 = 2و j t ، 1 = 1.

اگر t = 1 سپس j 1 ، n = l n و برای t = 2 j 2 ، n = j n را نگه می دارد.

از آنجا که معادله مشخصه روابط (1) و (2) r 2 - r - t = 0 است ، بنابراین ریشه های آن α = 1 + 1 + 4 t 2 ، β = 1 - 1 + 4 t 2 است. در نتیجه برای n ≥ 0 فرمول های مستقیم (که به عنوان فرمول های Binet نیز نامگذاری شده اند) برای J T ، N و J T ، N دارای فرم های (3) J T ، N = 1 1 + 4 T 1 + 1 + 4 T 2 N - 1 هستند- 1 + 4 t 2 n ، (3) (4) j t ، n = 1 + 1 + 4 t 2 n + 1 - 1 + 4 t 2 n.(4)

اعداد فیبوناچی در تئوری نمودار نیز تفسیرهای زیادی دارند ، به [1-6] مراجعه کنید. نشان داده شد که اعداد فیبوناچی عمومی J T ، N مربوط به شاخص Merrifiel d-Simmons از یک محصول نمودار ویژه است ، برای جزئیات بیشتر مراجعه کنید [7]. در این مقاله ، تفسیر نمودار دیگری از J T ، n را نشان می دهیم.

فقط نمودارهای ساده و بدون کارگردانی در نظر گرفته می شوند. یک زیر مجموعه s ⊆ v (g) مستقل است اگر برای هر x ، y ∈ S ، هیچ لبه ای بین آنها وجود ندارد. علاوه بر این مجموعه خالی و هر زیر مجموعه که دقیقاً یک راس حاوی مستقل است. بگذارید n ≥ 1 عدد صحیح باشد. بگذارید نسخه های n نمودار n t از سفارش t ، t ≥ 1 را در نظر بگیریم ، که توسط n t i ، با v (n t i) مشخص شده است =برای i = 1 ،… ، n. سپس g n نمودار به گونه ای است که v (g n) = ⋃ i = 1 n v (n t i) و e (g n) = ⋃ i = 1 nوادبگذارید σ (g n) تعداد همه مجموعه های مستقل از g n باشد به گونه ای که |S ∩ v (n t i) |≤ 1 برای i = 1 ،… ، n.

بگذارید n ≥ 1 ، t ≥ 1 عدد صحیح باشد. سپس (5) σ (g n) = j t ، n + 2.(5)

با القاء در n اجازه دهید n ، مانند بیانیه قضیه باشد. اگر n = 1 ، 2 نتیجه آشکار است. فرض کنید که n ≥ 3 و اجازه دهید σ (g k) = j t ، k + 2 برای k

s ∩ v (n t n) = 0̸. سپس S یک مجموعه مستقل دلخواه از نمودار g n - 1 با شرایط |S ∩ V (n t j) |≤ 1 برای J = 1 ،… ، n - 1. با فرضیه القایی σ (g n - 1) = j t ، n + 1 s در این مورد وجود دارد.

S ∩ V (n t n) ≠ 0̸. واضح است |S ∩ V (n t n) |= 1 و با تعریف نمودار g n دارای S ∩ V (n t n - 1) = 0̸ است. از آنجا که راس منحصر به فرد متعلق به S ∩ V (n t n) می تواند به روش های t انتخاب شود و با فرضیه القایی t ⋅ σ (g n - 2) = t ⋅ j t ، n زیر مجموعه ها در این مورد وجود دارد.

سرانجام σ (g n) = σ (g n - 1) + t ⋅ σ (g n - 2) = j t ، n + 1 + t ⋅ j t ، n = j t ، n + 2 که اثبات را پایان می دهد.□

2 هویت برای اعداد فیبوناچی عمومی و لوکاس

در این بخش برخی از خواص اعداد فیبوناچی عمومی و شماره های لوکاس را تعمیم می دهیم.

بگذارید n ≥ 0 ، t ≥ 1 عدد صحیح باشد. سپس (6) j t ، n + 2 + t ⋅ j t ، n = j t ، n + 1.(6)

با القاء در n برای n = 0 ما J T ، 2 + T ⋅ J T ، 0 = 1 + T ⋅ 0 = 1 = J T ، 1 را داریم.

بگذارید k ≥ 0 داده شود و فرض کنید که (6) برای همه n = 0 ، 1 ، 2 ،… ، k صادق است. ما نشان خواهیم داد که (6) برای n = k + 1 نگه داشته است. با استفاده از فرض القایی برای n = k و n = k - 1 و (1) ، (2) ما J T ، (K + 1) + 2 + T ⋅ J T ، K + 1 = = J T ، K + 3 را داریم+ t ⋅ j t ، k + 1 = = (j t ، k + 2 + t ⋅ j t ، k + 1) + t ⋅ j t ، k + t ⋅ j t ، k - 1 = (j t ،k + 2 + t ⋅ j t ، k) + t ⋅ j t ، k + 1 + t ⋅ j t ، k - 1 = = j t ، k + 1 + t ⋅ j t ، k = j t ، k + 2 = j t، (K + 1) + 1.

بنابراین ، (6) برای n = k + 1 ، و اثبات مرحله القایی کامل است.□

بگذارید n ≥ 0 ، t ≥ 1 عدد صحیح باشد. سپس (7) j t ، n + j t ، n = 2 ⋅ j t ، n + 1.(7)

با القاء در n برای n = 0 ما J T ، 0 + J T ، 0 = 0 + 2 = 2 ⋅ 1 = 2 ⋅ J T ، 1 را داریم.

بگذارید k ≥ 0 داده شود و فرض کنید که (7) برای همه n = 0 ، 1 ، 2 ،… ، k صادق است. ما نشان خواهیم داد که (7) برای n = k + 1 نگه داشته است. با استفاده از فرض القاء برای n = k و n = k - 1 و (1) ، (2) ما J T ، K + 1 + J T ، K + 1 = = (J T ، K + T ⋅ J T ، K - را داریم. 1) + (j t ، k + t ⋅ j t ، k - 1) = = (j t ، k + j t ، k) + t ⋅ (j t ، k - 1 + j t ، k - 1) = = 2 ⋅ jt ، k + 1 + t ⋅ 2 ⋅ j t ، k = = 2 ⋅ j t ، k + 1 + t ⋅ j t ، k = 2 ⋅ j t ، k + 2 = 2 ⋅ j t ، (k + 1) + 1.

بنابراین ، (7) برای n = k + 1 ، و اثبات مرحله القایی کامل است.□

بگذارید n ≥ 0 ، t ≥ 1 عدد صحیح باشد. سپس (8) ∑ i = 0 n j t ، i = j t ، n + 2 - j t ، 1 t.(8)

با استفاده از (1) J T ، n = 1 t (J T ، N + 2 - J T ، N + 1) داریم.

برای عدد صحیح 0 ، 1 ،… ، n ما j t ، 0 = 1 t (j t ، 2 - j t ، 1) j t ، 1 = 1 t (j t ، 3 - j t ، 2) j t ،2 = 1 t (j t ، 4 - j t ، 3) ⋮ j t ، n - 1 = 1 t (j t ، n + 1 - j t ، n) j t ، n = 1 t (j t ، n+ 2 - j t ، n + 1).

با افزودن این برابری که به دست می آوریم (8).□

به همین ترتیب می توان به راحتی قضیه بعدی را اثبات کرد.

بگذارید n ≥ 0 ، t ≥ 1 عدد صحیح باشد. سپس (9) ∑ i = 0 n j t ، i = j t ، n + 2 - j t ، 1 t.(9)

از قضایای فوق ما هویت های شناخته شده ای را برای اعداد فیبوناچی ، شماره های لوکاس ، شماره های ژاکوبشتال و شماره های ژاکوبستال-لوکا بدست می آوریم.

بگذارید n ≥ 0 یک عدد صحیح باشد. سپس ∑ i = 0 n f i = f n + 2 - f 1 = f n + 2 - 1 ، ∑ i = 0 n l i = l n + 2 - l 1 = l n + 2 - 1 ، ∑ i =0 n j i = j n + 2 - j 1 2 = j n + 2 - 1 2 ، ∑ i = 0 n j i = j n + 2 - j 1 2 = j n + 2 - 1 2.

برخی از هویت های شماره J T ، N و J T ، N را می توان با استفاده از ژنراتورهای ماتریس آنها یافت.

برای اعداد صحیح n ≥ 1 و t ≥ 1 اجازه دهید j (t ، n) = j t ، n j t ، n - 1 j t ، n + 1 j t ، n یک ماتریس باشد که ورودی ها شماره های فیبوناچی تعمیم یافته هستند.

بگذارید n ≥ 1 ، t ≥ 1 عدد صحیح باشد. سپس J T ، N J T ، N - 1 J T ، N + 1 J T ، N = J T ، 1 J T ، 0 J T ، 2 J T ، 1 ⋅ 1 1 T 0 N - 1.

با القاء در n اگر n = 1 پس از آن نتیجه آشکار است. فرض کنید که J T ، N J T ، N - 1 J T ، N + 1 J T ، N = J T ، 1 J T ، 0 J T ، 2 J T ، 1 1 1 1 T 0 N - 1. ما نشان خواهیم داد که j t ، n + 1 j t ، n j t ، n + 2 j t ، n + 1 = j t ، 1 j t ، 0 j t ، 2 j t ، 1 ⋅ 1 1 t 0 n. با محاسبه ساده با استفاده از فرضیه القایی ، ما J T ، 1 J T ، 0 J T ، 2 J T ، 1 ⋅ 1 1 1 T 0 N - 1 1 1 1 T 0 = J T ، N J T ، N - 1 J T داریم.، n + 1 j t ، n ⋅ 1 1 t 0 = = j t ، n + t ⋅ j t ، n - 1 j t ، n j t ، n + 1 + t ⋅ j t ، n j t ، n +1 = j t ، n + 1 j t ، n j t ، n + 2 j t ، n + 1 ، که اثبات را پایان می دهد.□

این ژنراتور بلافاصله فرمول کاسینی را برای اعداد فیبوناچی عمومی ارائه می دهد.

بگذارید n ≥ 1 ، t ≥ 1 عدد صحیح باشد. سپس j t ، n 2 - j t ، n - 1 ⋅ j t ، n + 1 = j t ، 1 2 - j t ، 0 ⋅ j t ، 2 ⋅ ( - t) n - 1 = ( - t) n- 1.

اگر t = 1 و t = 2 باشد ، ما به ترتیب فرمول های مشهور کاسینی را برای اعداد فیبوناچی و اعداد ژاکوبستال بدست می آوریم.

بگذارید n ≥ 1 عدد صحیح باشد. سپس f n 2 - f n - 1 ⋅ f n + 1 = ( - 1) n - 1 j n 2 - j n - 1 ⋅ j n + 1 = ( - 2) n - 1.

به طور مشابه می توانیم ژنراتور ماتریس و فرمول کاسینی را برای شماره های عمومی لوکاس تعریف کنیم.

برای اعداد صحیح n ≥ 1 و t ≥ 1 اجازه دهید j (t ، n) = j t ، n j t ، n - 1 j t ، n + 1 j t ، n یک ماتریس باشد که ورودی ها شماره های لوکاس تعمیم یافته است.

بگذارید n ≥ 1 ، t ≥ 1 عدد صحیح باشد. سپس J T ، N J T ، N - 1 J T ، N + 1 J T ، N = J T ، 1 J T ، 0 J T ، 2 J T ، 1 ⋅ 1 1 T 0 N - 1.

بگذارید n ≥ 1 ، t ≥ 1 عدد صحیح باشد. سپس j t ، n 2 - j t ، n - 1 ⋅ j t ، n + 1 = ( - 1 - 4 t) ⋅ ( - t) n - 1.

اگر T = 1 و T = 2 به ترتیب فرمول های مشهور کاسینی برای شماره های لوکاس و اعداد Jacobsthal-lucas داشته باشیم.

بگذارید n ≥ 1 عدد صحیح باشد. سپس l n 2 - l n - 1 ⋅ l n + 1 = - 5 ⋅ ( - 1) n - 1 ، j n 2 - j n - 1 ⋅ j n + 1 = - 9 ⋅ ( - 2) n - 1.

منابع

• Dosal-trujillo L. A. Galeana-Sánchez H. ، تعداد فیبوناچی برخی از زیرگرافهای خاص نمودارهای گردش کننده Akce int. J. Graphs Combin. 12 2015 94 - 103 [Taylor & Francis Online] ، [Web of Science ®] ، [Google Scholar]
• Kwaśnik M. Włoch I. ، تعداد کل مجموعه های پایدار عمومی و هسته های نمودارهای Ars Combin. 55 2000 139 - 146 [Web of Science ®] ، [Google Scholar]
• Prodinger H. Tichy R. F.، اعداد فیبوناچی در کوارت فیبوناچی نمودارها. 20 1982 16 - 21 [Web of Science ®] ، [Google Scholar]
• Skupień Z. ، مبالغ ریشه های مشخصه دارای مجموعه های دایره ای مستقل از فاصله ، بحث می کند. ریاضی. تئوری نمودار 33 2013 217 - 229 [Crossref] ، [Web of Science ®] ، [Google Scholar]
• Włoch A. ، در مورد شماره های فیبوناچی عمومی و k-distance k p در نمودارها برنامه های گسسته. ریاضی. 160 2012 1399 - 1405 [Crossref] ، [Web of Science ®] ، [Google Scholar]
• Włoch A. ، برخی از هویت های مربوط به شماره های فیبوناچی عمومی و شماره های عمومی لوکاس. ریاضی. محاسبات. 219 2013 5564 - 5568 [Web of Science ®] ، [Google Scholar]
• Szynal-Liana A. Włoch I. ، در شماره های Pell از راه دور و اتصالات آنها با شماره های Fibonacci Ars Combin. CXIIIA 2014 65 - 75 [Google Scholar]

چاپ مجدد و مجوزها

این یک مقاله دسترسی آزاد است که تحت شرایط Creative Commons CC توسط مجوز توزیع شده است ، که امکان استفاده نامحدود ، توزیع ، تولید مثل در هر رسانه را فراهم می کند ، مشروط بر اینکه کار اصلی به درستی ذکر شود.

شما ملزم به دریافت مجوز برای استفاده مجدد از این مقاله به طور کلی یا کل نیستید.