7. 2: نسبت طلایی و توالی فیبوناچی

With one number (a) and another smaller number (b), the ratio of the two numbers is found by dividing them. Their ratio is (a/b). Another ratio is found by adding the two numbers together (a+b) and dividing this by the larger number (a). The new ratio is ((a+b)/a). If these two ratios are equal to the same number, then that number is called the Golden Ratio. The Greek letter (varphi) (phi) is usually used to denote the Golden Ratio. For example, if (b = 1) and (a / b=varphi), then (a=varphi). The second ratio ((a+b)/a) is then ((varphi+1) / varphi). Because these two ratios are equal, this is true: [varphi=dfrac onumber ] (This equation has two solutions, but only the positive solution is referred to as the Golden Ratio (varphi)). One way to write this number is [varphi=dfrac> nonumber ] ( sqrt ) عدد مثبتی است که وقتی به خودی خود ضرب می شود ، (5: sqrt times sqrt = 5 ) را می سازد. نسبت طلایی یک عدد غیر منطقی است. اگر شخصی سعی کند بازنمایی اعشاری از آن را بنویسد ، هرگز متوقف نمی شود و هرگز الگویی را ایجاد نمی کند ، اما از این طریق شروع می شود: 1. 6180339887. نکته جالب در مورد این شماره این است که می توانید 1 را از آن جدا کنید یا 1 را بر اساس آن تقسیم کنید و نتیجه یکسان خواهد بود. [ varphi-1 = 1. 6180339887 ldots-1 = 0. 6180339887 nonumber ] [1 / varphi = frac = 0. 6180339887 nonumber ]

مستطیل طلایی

If the length of a rectangle divided by its width is equal to the Golden Ratio, then the rectangle is called a "golden rectangle.” If a square is cut off from one end of a golden rectangle, then the other end is a new golden rectangle. In the picture, the big rectangle (blue and pink together) is a golden rectangle because (a / b=varphi). The blue part (B) is a square. The pink part by itself (A) is another golden rectangle because (b /(a - b)=varphi). Assume that (varphi=dfrac) , and (varphi) is the positive solution to (varphi^-varphi-1=0). Then , (dfrac- dfrac- dfrac = 0 ). ضرب توسط (b^، a^-a b-b^= 0 ). بنابراین ، (a^-a b = b^). بنابراین ، (a (a-b) = b^). سپس ( dfrac = dfrac ) را دریافت می کنیم. هر دو طرف ( varphi ) هستند.

دنباله فیبوناچی

توالی فیبوناچی لیستی از اعداد است. با 1 ، 1 شروع کنید و سپس می توانید با اضافه کردن دو شماره آخر با هم ، شماره بعدی را در لیست پیدا کنید. توالی حاصل (بی نهایت) توالی فیبوناچی نامیده می شود. از آنجا که ما با 1 ، 1 شروع می کنیم ، شماره بعدی 1+1 = 2 است. اکنون ما 1 ، 1 ، 2. شماره بعدی 1+2 = 3 است. اکنون ما 1 ، 1 ، 2 ، 3. شماره بعدی 2+3 = 5 است. مورد بعدی 3+5 = 8 و غیره است. به هر یک از این اعداد ، شماره فیبوناچی گفته می شود. در ابتدا ، فیبوناچی (لئوناردو پیزا ، که حدود 800 سال پیش زندگی می کرد) برای مطالعه جمعیت خرگوش با این سکانس همراه شد! او احتمالاً هیچ تصوری نداشت که وقتی هر شماره فیبوناچی را به صورت قبلی تقسیم می کنید ، همانطور که در زیر مشاهده می کنید ، چه اتفاقی می افتد.جدول ( pageindex ):

در اینجا یک واقعیت بسیار شگفت آور است: توجه داشته باشید که نسبت دو عدد فیبوناچی متوالی به نسبت طلایی نزدیک می شود.

به نظر می رسد که اعداد فیبوناچی اغلب در طبیعت ظاهر می شوند. برخی از نمونه ها الگوی برگهای روی ساقه ، قسمت هایی از آناناس ، گل کنگر فرنگی ، عدم استفاده از یک سرخس و ترتیب یک مخروط کاج است. شماره های فیبوناچی نیز در درخت خانوادگی زنبورهای زنبور عسل یافت می شود. در همین حال ، بسیاری از هنرمندان و محققان موسیقی آثار هنری را مطالعه کرده اند که در آن نسبت طلایی نقش اساسی دارد. اینها شامل آثار میکل آنژ ، داوینچی و موتزارت است. خوانندگان علاقه مند می توانند منابع و فیلم های زیادی را بصورت آنلاین پیدا کنند. شاید تعجب آور نباشد که اعدادی مانند 3 ، 5 ، 8 و 13 در تئوری موسیقی بسیار مهم هستند. فقط نگاهی سریع به کلیدهای پیانو بیندازید!

ارجاع

1. منابع (17)

مشارکت کنندگان و ویژگی ها

• Saburo Matsumoto CC-BY-4. 0

7. 2: نسبت طلایی و دنباله فیبوناچی تحت مجوز CC به اشتراک گذاشته می شود و توسط LibreTexts نویسنده ، ریمیکس و/یا سرپرستی شده است.